图的概念
图是由顶点集合以及顶点之间的关系组成的一种数据结构：G = （V，E）
其中 V 表示的是顶点集合 ： V = { x | x 属于某个数据对象集} 是有穷非空集合
E 叫做边的集合 ： E = {(x, y) | x, y 属于 V} 或者 E = {<x, y> | x, y 属于 V 并且 Path(x,y) 是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合}
(x,y) 表示 x 到 y 是一条双向通道，即(x,y) 是无方向的；Path<x,y> 表示 x 到 y 的一条单向通道，即Path<x,y> 是有方向的
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，
图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x,
y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)
称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为
无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。
图片描述" />
完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为
无向完全图
在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图。
邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u
和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与
顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与
出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v); 顶点v的出度是以v为起始点的有向
边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从
顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路
径长度是指该路径上各个边权值的总和。
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路 径上
第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
图片描述" />
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。
图片描述" />
子图要求顶点齐全即可。
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到 vi的路
径，则称此图是强连通图。
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条
边。
图的存储结构
存储图，我们需要保存节点与关系（节点与节点的关系，是否连通，是否带有权重），图的存储结构有两种，一种是邻接矩阵，另一种是邻接表，在后面图的算法中，本文章会以邻接矩阵为例子提供演示。
邻接矩阵
无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称
的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。0 表示不连通， 1 表示连通
图片描述" />
如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，
则使用无穷大代替。 下面代码实现，这里把自己和自己的距离也处理为无穷大，方便后面算法的实现。
图片描述" />
用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩
阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求
分析实现
首先通过成员变量，一个存储顶点的数组（当然你也可以使用map 来进行映射，因为后面要获取顶点下标，当顶点个数一多，效率就会低下）
还有必不可少的邻接矩阵——二维数组，用来保存边与边的关系
最后还要有一个布尔类型的变量，因为图有两种，要么是有向图要么是无向图，所以这个变量来保存当前图的类型。
接着就是简单提供构造方法和初始化顶点数组
然后开始写添加边的代码，添加边也很简单，传入三个参数：起始顶点，目标顶点以及权重，我们只要获取到顶点的下标，将其对应到矩阵上就可以完成了，但是要注意无向图的处理，由于无向图是一个对称矩阵，边与边的关系也是双向连通的，所以要单独处理。
最后就是获取度，注意的是有向图的度的获取，有向图的度分为入度和出度。
最终代码
java">package graph;
import java.util.Arrays;
public class GraphByMatrix {
public char[] arrayV;//顶点数组
public int[][] matrix;//邻接矩阵
public boolean isDirect;//是否为有向图
//构造方法，提供size : 顶点个数
//arrayV 顶点数组
public GraphByMatrix(int size,boolean isDirect) {
this.arrayV = new char[size];
matrix = new int[size][size];
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
Arrays.fill(matrix[i],Integer.MAX_VALUE);
}
this.isDirect = isDirect;
}
//初始化顶点数组
public void initArrayV(char[] arrayV) {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
this.arrayV[i] = arrayV[i];
}
}
//添加边
public void addEdge(char srcV, char destV, int weight) {
int indexSrc = getIndexV(srcV);
int indexDest = getIndexV(destV);
matrix[indexSrc][indexDest] = weight;
//无向图是对称矩阵，单独处理
if(!isDirect) {
matrix[indexDest][indexSrc] = weight;
}
}
//获得下标
private int getIndexV(char v) {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v) {
return i;
}
}
return -1;
}
//获得顶点的度
public int getDegreeOfV(char v) {
int count = 0;
int index = getIndexV(v);
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
if(matrix[index][i] != Integer.MAX_VALUE) {
count++;
}
}
//有向图，要单独处理入度
if(isDirect) {
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
if(i != index && matrix[i][index] != Integer.MAX_VALUE) {
count++;
}
}
}
return count;
}
public void printGraph() {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
System.out.print(arrayV[i] + " ");
}
System.out.println();
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
if(matrix[i][j] == Integer.MAX_VALUE) {
System.out.print("∞ ");
} else {
System.out.print(matrix[i][j] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
}
邻接表
邻接表使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系
图片描述" />
注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集
合中结点的数目即可。
图片描述" />
有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的
出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst
取值是i。
在代码的实现中，我们不采用两张表，而是使用一张表处理，就是入边表。
分析实现
首先创建链表的结点：起始位置，目标位置，权重，next 域，构造方法，注意起始位置和目标位置采用 int 类型保存，通过顶点数组来获取下标。
我们使用ArrayList 来实现邻接表，保存链表。
使用char 类型的数组保存顶点
使用 Boolean 类型的变量保存图的类型。
注意ArrayList 的初始化，要对每一个区域赋值为null，如果不这样做，ArrayList 内部的有效数据是为空的，不是 null，这会导致你后面的链表的插入发生越界访问！！！
添加边：
首先我们要先检查这个边是否已经保存进邻接表里了，如果已经有了这条边，就直接返回，如果没有，我们才继续进行添加，添加边的时候，我们采用头插法，然后我们还需要进行考虑无向图，因为无向图的边是双向关系的，所以还要再添加一条边进去。
获得边的度：
无向图：直接遍历对应的链表即可。
但是如果是有向图，我们还需要考虑入度的问题，这时候上面求出了出度，如果是有向图，还需要遍历ArrayList 进行检查。
最终代码
java">package graph;
import java.util.ArrayList;
public class GraphByNode {
static class Node{
public int src;//起始位置
public int dest;//目标位置
public int weight;//权重
public Node next;
public Node(int src, int dest, int weight) {
this.src = src;
this.dest = dest;
this.weight = weight;
}
}
public ArrayList<Node> edgeList;//邻接表
public boolean isDirect;//是否为有向图
public char[] arrayV;//顶点数组
//构造方法
//注意ArrayList 的处理，如果不赋 null, ArrayList 的有效数据为 0， 无法进行访问的
public GraphByNode(int size, boolean isDirect) {
this.edgeList = new ArrayList<>(size);
for (int i = 0; i < size; i++) {
edgeList.add(null);
}
this.isDirect = isDirect;
this.arrayV = new char[size];
}
//初始化顶点数组
public void initArrayV(char[] arrayV) {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
this.arrayV[i] = arrayV[i];
}
}
//添加边
public void addEdge(char src, char dest, int weight) {
int indexSrc = getIndexOfV(src);
int indexDest = getIndexOfV(dest);
addNode(indexSrc,indexDest,weight);
//无向图，再次添加
if(!isDirect) {
addNode(indexDest,indexSrc,weight);
}
}
private void addNode(int indexSrc, int indexDest, int weight) {
//首先判断这个节点是否存在
Node cur = edgeList.get(indexSrc);
while(cur != null) {
if(cur.dest == indexDest) {
return;
}
cur = cur.next;
}
//没有存储，进行存储
Node newNode = new Node(indexSrc,indexDest,weight);
newNode.next = edgeList.get(indexSrc);
edgeList.set(indexSrc,newNode);
}
//获取下标
private int getIndexOfV(char v) {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v) {
return i;
}
}
return -1;
}
//获取度
public int getDegreeOfV(char v) {
int count = 0;
int index = getIndexOfV(v);
Node cur = edgeList.get(index);
while(cur != null) {
count++;
cur = cur.next;
}
//有向图，单独处理入度
if(isDirect) {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if (i != index) {
cur = edgeList.get(i);
while (cur != null) {
if (cur.dest == index) {
count++;
}
cur = cur.next;
}
}
}
}
return count;
}
//打印邻接表
public void printGraph() {
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
Node cur = edgeList.get(i);
while(cur != null) {
System.out.print(cur.dest + ":" + cur.weight + "-> ");
cur = cur.next;
}
System.out.println();
}
}
}
图的遍历
从这里开始，我们以邻接矩阵为例子进行代码的讲解与分析。
广度优先遍历
图片描述" />
广度优先遍历类似二叉树的层次遍历。
广度优先遍历的英文全称为 Breadth-First Search，简写为 bfs
分析：
类似二叉树的层次遍历，在二叉树的层次遍历我们借助了一个队列，这里我们也使用一个队列来保存顶点。
然后我们开始进行运行，以下面的图为例：
图片描述" />
先从A开始遍历，把A放入队列，在出队列的同时，遍历矩阵把B和C放入队列中，然后进行B的出队列，这时候又遍历矩阵B那行，这时候A和C 进来了，你会发现A重复进来了，所以为例避免这种情况，我们使用一个辅助数组来记录某个顶点是否被遍历了，也就是在出队列和进队列的时候把这个顶点标记为 true,表示已经被遍历过了。
java"> public void bfs(char src) {
int n = arrayV.length;
boolean[] check = new boolean[n];//辅助数组
Queue<Character> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(src);
while(!queue.isEmpty()) {
char ch = queue.poll();
System.out.print(ch + " ");
int index = getIndexV(ch);
check[index] = true;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(matrix[index][i] != Integer.MAX_VALUE && !check[i]) {
queue.offer(arrayV[i]);
check[i] = true;
}
}
}
System.out.println();
}
深度优先遍历
图片描述" />
深度优先遍历类似二叉树的前序遍历。
深度遍历英文全称为Depth First Search，简写为 dfs
思路：
使用一个辅助数据记录当前的顶点是否被访问过
然后我们使用递归，每次遇到未被访问过的顶点，进行递归处理。
java"> public void dfs(char v) {
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
int index = getIndexV(v);
dfsChile(index,visited);
}
private void dfsChile(int index, boolean[] visited) {
System.out.print(arrayV[index] + "->");
visited[index] = true;
for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(!visited[i] && matrix[index][i] != Integer.MAX_VALUE) {
dfsChile(i,visited);
}
}
}
最小生成树
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树 就不在连
通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的
的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。
Kruskal 算法
KrusKal 算法中文名称为：克鲁斯卡尔算法
任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}，
首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量，
其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。
如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。
Kruskal 算法采用的是全局贪心策略，即每次都在全图中获取最小的边，并且要求这条边不能构成一条回路。
图片描述" />
我们来过一下Kruskal 算法的流程：
图片描述" />
纵观全图，我们找到 h - g 这条边的全职最小，将其纳入到最小生成树中
图片描述" />
接着再次纵观全图，发现 i - c 或者 g - f 这两条边都是最小，将谁纳入到最小生成树都是可以的，这里我们将 i - c 纳入。
图片描述" />
纵观全图，发现 g - f 最小，纳入生成树中。
图片描述" />
a - b 与 c - f 都是 4 ，将其一纳入即可，这里纳入 a-b
图片描述" />
c-f 进入最小生成树中
图片描述" />
然后你会发现这时候最小的边应该为 i - g ，但是我们的最小生成树要求不能有环，所以这条边不能纳入，然后我们再继续找，这时候 c - d 和 i - h 为最小边，但是由于 i- h 纳入的话，会构成环路，所以只能将 c - d 纳入最小生成树中。
图片描述" />
重复上面的动作，最后得到下面的最小生成树：
图片描述" />
注意最小生成树的结果不是唯一的，只要符合算法思想即可。
算法思路分析：
首先我们需要从全图中找到一个最小的边，我们可以使用优先级队列构建小根堆，将全部的边纳入到图中，通过出队列的方式获取最小的边。
然后我们需要判断最小的边会不会构成回路，如果不会才能纳入到最小生成树中。
判断回路：我们可以采用集合的方式，如果这条边的两个顶点都在生成树的集合中，就不能纳入，这时候我们可以使用并查集来判断，如果不了解并查集可以查阅这一篇博客 JavaDS —— 并查集
在每次纳入生成树的同时，将这两个顶点纳入并查集中。
注意生成树要求 n 个顶点加 n- 1 条边，这是有可能满足不了 n - 1 条边的，就像下面的图一样，D 点是隔离的，无法实现最小生成树，这时候你在构建最小生成树的结尾要判断是否构建好了最小生成树，如果没有可以返回 -1
最终代码：
java"> //创建边类
static class Edge {
public int src;
public int dest;
public int weight;
public Edge(int src, int dest, int weight) {
this.src = src;
this.dest = dest;
this.weight = weight;
}
}
public int Kruskal(GraphByMatrix minTree) {
//创建优先级队列
PriorityQueue<Edge> queue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {
@Override
public int compare(Edge o1, Edge o2) {
return o1.weight - o2.weight;
}
});
//将所有的边纳入到优先级队列中
int n = arrayV.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if(matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {
queue.offer(new Edge(i,j,matrix[i][j]));
}
}
}
UnionFindSet unionFindSet = new UnionFindSet(n);
//构建生成树
int size = 0;
int totalWeight = 0;
while(!queue.isEmpty() && size < n - 1) {
Edge tmp = queue.poll();
int src = tmp.src;
int dest = tmp.dest;
if(!unionFindSet.isSameSet(src,dest)) {
minTree.addEdge(arrayV[src],arrayV[dest], tmp.weight);
unionFindSet.union(src,dest);
totalWeight += tmp.weight;
size++;
}
}
if(size < n - 1) {
return -1;
}
return totalWeight;
}
Prime 算法
Prime 算法 中文名称为 普里姆算法
图片描述" />
图片描述" />
Prime 算法采用局部贪心的策略。
我们来走一下这个算法的流程：
首先给定一个初始的顶点，这里给的是 a
图片描述" />
然后从 d 开始寻找最小边，得到 a - b，将其纳入到最小生成树中。
图片描述" />
然后我们得到最小生成树的集合为 {a,b}，这时候 b 向外延伸， b - c = 8, b - h = 11, a - h = 8，经过比较，b - c 和 a-h 都是最小边，将其一纳入即可，这里纳入的是 b-c
图片描述" />
现在最小生成树的集合为 {a,b.c}， c 开始延伸，c - i = 2 , c - f = 4, c - d = 7 ，并且和前面的 a-h = 8 进行比较，最后纳入 c - i 这条边。
图片描述" />
i 延伸，i - g = 6, i - h = 7 , 并且和前面的为被纳入的最小边集合进行比较，最后将 c - f 纳入生成树中。
图片描述" />
然后以此类推，最后得到：
图片描述" />
算法分析：
我们还是使用优先级队列保存边的关系，但是prime 算法是每进一个顶点，才会将新顶点所在的边关系全部入队。
首先先将初始顶点的边关系信息入队，然后开始找最小边，然后将最小边的信息纳入到生成树中，并且与之对应的新顶点也要纳入到集合中，新顶点的边关系也随之纳入进去。使用循环来进行操作。
最终代码：
java"> //创建边类
static class Edge {
public int src;
public int dest;
public int weight;
public Edge(int src, int dest, int weight) {
this.src = src;
this.dest = dest;
this.weight = weight;
}
}
public int prime(GraphByMatrix minTree, char src) {
int totalWeight = 0;
int n = arrayV.length;
int size = 0;
//构建优先级队列
PriorityQueue<Edge> queue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {
@Override
public int compare(Edge o1, Edge o2) {
return o1.weight - o2.weight;
}
});
UnionFindSet unionFindSet = new UnionFindSet(n);
int index = getIndexV(src);
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(matrix[index][i] != Integer.MAX_VALUE) {
queue.offer(new Edge(index,i,matrix[index][i]));
}
}
while(!queue.isEmpty()) {
Edge tmp = queue.poll();
int indexSrc = tmp.src;
int indexDest = tmp.dest;
int weight = tmp.weight;
if(!unionFindSet.isSameSet(indexSrc,indexDest)) {
unionFindSet.union(indexSrc,indexDest);
minTree.addEdge(arrayV[indexSrc],arrayV[indexDest],weight);
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(matrix[indexDest][i] != Integer.MAX_VALUE) {
queue.offer(new Edge(index,i,matrix[index][i]));
}
}
totalWeight += weight;
size++;
}
}
if(size < n - 1) {
return -1;
}
return totalWeight;
}
最短路径
最短路径问题：从在带权图的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。
Dijkstra算法
迪杰斯特拉算法
单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v
∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要
求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法
求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。
针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始
时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q
中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S 中，对u 的每一个相邻结点v 进行松
弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代
价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循
环直至集合Q 为空，即所有节点都已经查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法
循环后其代价仍为初始设定的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更
新，并加入S中，所以该算法使用的是贪心策略。
Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路径的最短路径。
图片描述" />
java"> public void dijkstra(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {
int srcIndex = getIndexV(vSrc);
//距离数据初始化
Arrays.fill(dist,Integer.MAX_VALUE);
dist[srcIndex] = 0;
//路径数组初始化
Arrays.fill(pPath,-1);
pPath[srcIndex] = 0;
//当前顶点是否被访问过？
int n = arrayV.length;
boolean[] s = new boolean[n];
//n个顶点,要更新n次，每次都要从0下标开始，找到一个最小值
for (int k = 0; k < n; k++) {
int min = Integer.MAX_VALUE;
int u = srcIndex;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(s[i] == false && dist[i] < min) {
min = dist[i];
u = i;//更新u下标
}
}
s[u] = true;//u:s
//松弛u连接出去的所有的顶点 v
for (int v = 0; v < n; v++) {
if(s[v] == false && matrix[u][v] != Integer.MAX_VALUE
&& dist[u] + matrix[u][v] < dist[v]) {
dist[v] = dist[u] + matrix[u][v];
pPath[v] = u;//更新当前的路径
}
}
}
}
Bellman-Ford算法
Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助
我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权
边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E)
(N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有
边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新。
图片描述" />
java"> public boolean bellmanFord(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {
int srcIndex = getIndexV(vSrc);
//距离数据初始化
Arrays.fill(dist,Integer.MAX_VALUE);
dist[srcIndex] = 0;
//路径数组初始化
Arrays.fill(pPath,-1);
pPath[srcIndex] = 0;
int n = arrayV.length;
for (int k = 0; k < n; k++) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if(matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE &&
dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {
dist[j] = dist[i] + matrix[i][j];
pPath[j] = i;
}
}
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if(matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE &&
dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {
return false;
}
}
}
return true;
}
Floyd-Warshall算法
Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点。 设k是p
的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节
点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路
径。
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Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得到所以点的最短路
java"> public void floydWarShall(int[][] dist,int[][] pPath) {
int n = arrayV.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
Arrays.fill(dist[i],Integer.MAX_VALUE);
Arrays.fill(pPath[i],-1);
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if(matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {
dist[i][j] = matrix[i][j];
pPath[i][j] = i;
}else {
pPath[i][j] = -1;
}
if(i == j) {
dist[i][j] = 0;
pPath[i][j] = -1;
}
}
}
for (int k = 0; k < n; k++) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (dist[i][k] != Integer.MAX_VALUE &&
dist[k][j] != Integer.MAX_VALUE &&
dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
//更新父节点下标
//pPath[i][j] = k;//不对
//如果经过了 i->k k->j 此时是k
//i->x->s->k k->..t->...x->j
pPath[i][j] = pPath[k][j];
}
}
}
}
}
